6月 8, 2023

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世界を支配する目に見えない数学

アルバート・ルッゼル・バラバッシ: 私たちの行動はすべてデータによってマークされるため、私たちは非常に特別な瞬間を生きています。 これは私たちだけでなく、私たちの生物学的存在や地球規模の存在にも当てはまります。

世界について知れば知るほど、それが非常に複雑なシステムであることが理解できます。 私たちの生物学的存在は、非常に複雑な遺伝的および分子的ネットワークによって支配されています。 私たちの細胞内の遺伝子や分子がどのように相互作用するかだけでなく、社会も単なる個人の集合体ではありません。 社会は電話帳ではありません。 社会を機能させるのは、実際には私たち間の相互作用です。

しかし問題は、この複雑さをどうやって理解するかということです。 複雑なシステムを理解したい場合、最初に行う必要があるのは、その構造とその背後にあるネットワークを定義することです。

私たちはほぼあらゆるものに関するデータを持っており、この膨大な量のデータが世界に驚くべきユニークな研究室を生み出します。 私たちの世界がどのように機能しているかを真に理解する機会を提供します。

グラフ理論は数学者にとって非常に重要な研究テーマとなっています。私はハンガリー人ですが、パウル・エルドスとアルフレッド・レニーのおかげで、ハンガリー数学学校がこの問題に多大な貢献をしたことがわかりました。 1959 年から 60 年代半ばに、彼らは「ランダム グラフの理論」を説明する 8 つの論文を発表しました。

彼らは私たちの周りの複雑なネットワークのいくつかを見て、「これらのネットワークがどのように相互に接続されているのかはわかりませんが、実際にはランダムに見えます。」と言いました。 したがって、彼らのモデルは非常に単純でした。ノードのペアを選択し、サイコロを振るだけです。 6つ揃えばつなげることができます。 そうでない場合は、別のノードのペアに進みます。 この考えに基づいて、彼らは今日「ランダム ネットワーク モデル」と呼ばれるものを構築しました。

物理学者の観点から興味深いのは、私たちにとってランダム性は予測不可能性を意味するわけではないということです。 実際、ランダム性は予測可能性の一種です。 そして、これはまさにエルデシュとレーニが証明したことであり、ランダムなネットワークでは平均値が支配的であるということです。

例を挙げてみましょう。社会学者によると、平均的な人には名前ベースで約 1,000 人の知り合いがいます。 コミュニティがランダムの場合、最も人気のある人、つまり友達が最も多い人には、約 1150 人ほどの友達がいることになります。 そして、最も人気のないものは約 850 人です。これは、私たちの友人の数が、平均値付近に大きなピークがあり、非常に急速に減衰するポアソン分布に従っていることを意味します。明らかに、あまり意味がありませんね。 これは、ランダム ネットワーク モデルに何か問題があることを示していました。 モデルが間違っているという意味ではありませんが、モデルは現実を捉えておらず、ネットワークがどのように形成されるかを捉えていません。

何年もネットワークに興味を持っていた後、実際のネットワークを記述する実際のデータを見つける必要があることに気づきました。 実際のネットワークを研究する最初の機会は、World Wide Web の地図で実現しました。 私たちは World Wide Web がネットワークであることを知っています。 名前が示すとおり、それはネットワークです。 ノードは Web ページで、リンクは URL です。URL をクリックすると、あるページから別のページに移動できます。 私たちは 1998 年のことを話しています。World Wide Web がそもそも発明されてから約 6 ~ 7 年後のことです。 Web は非常に小さく、数億ページしか含まれていませんでした。

そこで私たちはそれを計画することに着手しました。これが、今日私たちが「ネットワーク サイエンス」と呼ぶものの始まりとなりました。 この World Wide Web の地図を入手すると、それが前年に作成されていたランダムなネットワーク マップとは非常に異なっていることがわかりました。 さらに深く掘り下げると、次数分布、つまりノードごとのリンク数がランダム ネットワークのポアソンに従わず、いわゆるべき乗則分布に従ったことがわかります。 私たちは最終的に、これらのネットワークを「スケールレス ネットワーク」と呼ぶことにしました。

スケールのないネットワークでは、平均値が不足します。 平均値には意味がありません。 それらには固有のスケールがありません。 すべてが可能です。 それらには鱗がありません。 実際のネットワークのほとんどは、既存のノードを接続することによって形成されるのではなく、1 つのノードから始まり、他のノードを追加し、さらに多くのノードを追加して成長します。

World Wide Web について考えてみましょう。1991 年には、1 つの Web ページがありました。 今日ではどうすれば 1 兆を超えることができるでしょうか? 最初のページにリンクする別の Web ページが作成され、次に、前のページの 1 つにリンクする別のページが作成されました。 そして最終的には、Web ページを作成して他の Web ページに接続するたびに、World Wide Web に新しいノードが追加されることになります。 ネットワークは一度に 1 つのノードを形成します。 ネットワークは、接続する必要があるノードの数が固定されている静的なオブジェクトではありません。ネットワークは成長するオブジェクトです。 成長とともに進化します。

World Wide Web が現在の規模に達するまでに 20 年もかかることもあれば、サブセルラー ネットワークが今日の複雑さに達するまでに 40 億年もかかることもありました。 World Wide Web では、ランダムに通信しないことはわかっています。 私たちは知っていることを使ってコミュニケーションをとります。 私たちは Google、Facebook、その他私たちが知っている主要な Web ページにリンクしており、最もリンクされているページにリンクする傾向があります。 したがって、接続パターンは最も接続されているノードに偏っています。

これを「優先協会」という概念で定式化することにしました。 そして、成長と優先的愛着を組み合わせると、力の法則がパラダイムから突然現れます。 そして突然、私たちはハブを持ち、以前に World Wide Web で見たものと同じ統計と同じ構造を持っています。 私たちは、細胞内の代謝ネットワーク、細胞内のタンパク質の相互作用、そしてハリウッドにおける俳優同士のコミュニケーション方法に注目し始めました。 これらすべてのシステムで、スケールフリー ネットワークが見られました。 私たちは非ランダム性を確認し、ハブの出現を確認しました。 したがって、複雑なシステム自体が構築される方法は、同じ一般的な構造に従っていることがわかりました。

ネットワーク科学は、私たちが科学で直面するすべての問題に対する答えではないことを明確にしておきますが、多くのコンポーネントの相互作用から現れる複雑なシステムを理解したい場合には、ネットワーク科学は必要な道です。 現在、ソーシャル ネットワーク理論、生物学的ネットワーク理論、ワールド ワイド ウェブ理論はありません。代わりに、それらすべてを 1 つの科学的枠組みで説明するネットワーク科学があります。

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